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容斥問(wèn)題在你眼中是否繁瑣呢?采用容斥問(wèn)題的公式或者借助文氏圖分析，相信雙通道可幫助同學(xué)們繞出容與斥的復(fù)雜;極值問(wèn)題是否也帶給你困擾?常見(jiàn)和定求最值、為保證完成目的的最不利分析、行走最短路程的探索等，協(xié)助了同學(xué)們一點(diǎn)點(diǎn)熟知極值的脾性。而容斥問(wèn)題與極值問(wèn)題共同孕育的容斥極值，讓多集合在全集中使勁擠兌，數(shù)量關(guān)系與資料分析的考查中，它皆是?？?。很多同學(xué)感覺(jué)它走出了繁瑣與困擾，有些負(fù)負(fù)得正的韻味。如何分析應(yīng)用呢?

例題1：在陽(yáng)光明媚的一天下午，甲乙兩人給30盆花澆水，已知甲澆了20盆花，乙澆了17盆花。假設(shè)甲乙兩人給每盆花澆水量相同，且每盆花澆水不宜過(guò)量，若重復(fù)澆水需放到室外光照、風(fēng)量較好處養(yǎng)護(hù)，那么兩人澆水后至少搬至室外多少盆花?

A.3 B.5 C.7 D.9

【解析】正確答案為C。共有30盆花，甲澆了20盆花，乙澆了17盆花，所以必會(huì)存在兩人均澆過(guò)的花，即重復(fù)澆水需移至室外養(yǎng)活的花。根據(jù)兩者容斥問(wèn)題的公式：I=A+B-A∩B+M，即30=20+17-A∩B+M，得A∩B=7+M。若要A∩B最小，那么M的值也要盡可能小，M最小可取0，此時(shí)A∩B最小為7，故本題選C。(注：I表示全集，A、B分別表示全集中的兩個(gè)集合，M表示既不屬于集合A也不屬于集合B的部分，即補(bǔ)集)

在花朵都如此有求生欲的今天，這一題在考場(chǎng)上又怎會(huì)不寶貴呢?但經(jīng)過(guò)分析可知此題的計(jì)算難度并不高，所求為兩集合公共部分的最小值，即在全集中既不屬于A集合也不屬于B集合的M取得0的前提下求得(A∩B)min=A+B-I。以此類推，若在容斥中求極值，則全集中多集合間公共部分的最小值分為：

(A∩B)min=A+B-I;

(A∩B∩C)min=A+B+C-2I

(A∩B∩C∩D)min=A+B+C+D-3I

……

例題2：2019年年末全國(guó)大陸總?cè)丝?40005萬(wàn)人，比上年末增加467萬(wàn)人，其中，城鎮(zhèn)常住人口84843萬(wàn)人，占總?cè)丝诒戎?常住人口城鎮(zhèn)化率)為60.60%，比上年末提高1.02個(gè)百分點(diǎn)。戶籍人口城鎮(zhèn)化率為44.38%，比上年末提高1.01個(gè)百分點(diǎn)。全國(guó)人戶分離的人口占大陸總?cè)丝诘?0%，其中，84.29%為流動(dòng)人口。

問(wèn)題：2019年年末，城鎮(zhèn)常住人口中，男性人口占比至少為：

A.5.2% B.11.7% C.17.5% D.19.3%

【解析】正確答案為D。所求為城鎮(zhèn)常住人口中的男性人口占比，由表格可知，2019年年末，城鎮(zhèn)常住人口占全國(guó)總?cè)丝诒戎貫?0.6%，男性人口占全國(guó)總?cè)丝诒戎貫?1.1%，則既是城鎮(zhèn)常住人口又是男性人口占總?cè)丝诘谋戎刂辽贋?0.6%+51.1%-1=11.7%，則城鎮(zhèn)常住人口中，男性人口至少占11.7%÷60.6%≈19.3%，選擇D項(xiàng)。

容斥極值求解可還容易判定?即求解多個(gè)集合公共部分的極值，在數(shù)量關(guān)系與資料分析的考查中均可現(xiàn)影，看似復(fù)雜其實(shí)多加訓(xùn)練后，你會(huì)對(duì)它由陌生到熟悉，好感慢慢升級(jí)。所以夯實(shí)容斥問(wèn)題的基底，練就推導(dǎo)本領(lǐng)，即使難題亦可迎刃而解，希望同學(xué)們?cè)谟?xùn)練中都可有更大收獲!

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